Công thức nguyên hàm là một trong những kiến thức quan trọng cần nhớ đối với các em học sinh. Vậy cụ thể công thức này ra sao, cách vận dụng vào bài tập thế nào. Cùng khám phá chi tiết nội dung này trong bài viết dưới đây của chúng tôi.
Định nghĩa, công thức nguyên hàm
Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trên K (với K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên như K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.
Kí hiệu: ∫ f(x)dx = F(x) + C.
Định lí 1:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì đối với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên tập K.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng tổng quát F(x) + C, với C là một hằng số.
Do vậy F(x) + C; C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.
Tính chất của nguyên hàm
(∫ f(x)dx)’ = f(x) và ∫ f'(x)dx = f(x) + C.
Nếu F(x) có đạo hàm thì: ∫d(F(x)) = F(x) + C).
∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx với k là một hằng số khác 0.
∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫g(x)dx.
Tham khảo: Diện tích tam giác vuông
Bản chất tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K thì đều có nguyên hàm trên K.
Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp
Dưới đây là bảng công thức nguyên hàm cơ bản cần nhớ:
Phương pháp tìm nguyên hàm
Phương pháp đổi biến
Đổi biến dạng 1
Định nghĩa: Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên tập K. Khi đó, nếu F là một nguyên hàm của f, nghĩa là: ∫ f(u)du = F(u) + C thì:
∫ f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C
Phương pháp giải
– Chọn t = φ(x). Trong đó φ(x) là hàm số mà ta cần chọn thích hợp.
– Tính vi phân hai vế như sau: dt = φ'(t)dt.
– Biểu thị: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
– Kết luận: Khi đó: I = ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Đổi biến loại 2
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) liên tục trên K với x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là φ'(t). Khi này, ta có: ∫ f(x)dx = ∫ f[φ(t)].φ'(t)dt
Phương pháp giải:
– Chọn x = φ( t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
– Lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt.
– Biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
– Khi đó tính được: ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Các dấu hiệu đổi biến thường gặp
Các dấu hiệu xem chi tiết ở bảng sau:
Phương pháp nguyên hàm từng phần
Định lí
Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, ta có:
∫u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u'(x)dx
Hay ∫udv = uv – ∫vdu (với du = u'(x)dx, dv = v'(x)dx)
Phương pháp chung
Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về theo dạng: I = ∫ f(x)dx = ∫ f1(x).f2(x)dx
Bước 2: Đặt: 
Bước 3: Khi đó: ∫u.dv = u.v – ∫v.du
Các dạng bài thường gặp
Dạng 1:
Dạng 2:
Dạng 3:
Bằng phương pháp tương tự ta tính được
Phương pháp học tốt công thức nguyên hàm
Để làm tốt dạng bài tập liên quan đến công thức nguyên hàm, có 2 cách. Một là dựa vào bảng nguyên hàm để giải, 2 là sử dụng máy tính cầm tay. Khi làm dạng bài này học sinh cần học thuộc và làm nhiều bài tập để có thể thông thạo cách giải.
Nắm chắc lý thuyết: định nghĩa, công thức, tích phân, các công thức mở rộng và các phương pháp giải,..
Hệ thống hóa lại kiến thức một cách khoa học để học và ghi nhớ kiến thức một cách tốt nhất: thuộc công thức, làm các dạng bài tập, ôn các đề thi thử, tìm tòi các dạng bài mở rộng,..
Ôn thi và luyện đề thật kỹ trước khi vào kỳ thi: Điều này vô cùng quan trọng, tránh các em chủ quan và rèn luyện lại một lần nữa các dạng bài, áp dụng cho tốt.
Lời kết
Hy vọng qua những thông tin chia sẻ trên, bạn đọc đã nắm được những thông tin chi tiết về công thức nguyên hàm và các dạng bài tập liên quan. Chúc các bạn có mùa thi thật tốt, đạt kết quả cao!